Värderingen av verkställande aktieoptioner i en intensitetsbaserad ramtransskription 1 European Finance Review 4. Kluwer Academic Publishers. Tryckt i Nederländerna. 211 Värderingen av optionsrätter i en intensitetsbaserad ram PETER CARR 1 och VADIM LINETSKY 2 1 Banc of America Securities, Equity Financial Products, 9 West 57th Street, 4: e våningen, New York, NY Institutionen för industriell ekonomi, McCormick School of Engineering och tillämpad vetenskap, Northwestern University, 2145 Sheridan Road, Evanston, IL Abstract. I detta papper presenteras en allmän intensitetsbaserad ram för att värdera aktieoptioner (ESO). Det bygger på de senaste framstegen inom arena för kreditriskmodellering. Den tidiga övningen eller förverkan på grund av frivillig eller ofrivillig anställningst uppsägning och den tidiga övningen på grund av verkställandens önskan om likviditet eller diversifiering modelleras som en exogen punktprocess med slumpmässig intensitet beroende på aktiekursen. Två analytiskt dragbara specifikationer ges där ESO-värdet, förväntad tid för övning eller förverkande och förväntat aktiekurs vid tidpunkten för övning eller förverkande beräknas i sluten form. Nyckelord: Brownian-område, tidig träning, verkställande aktieoptioner, Feynman-Kac-formel, förverkande, Laplace-omvandling, ockupationstid, punktprocesser med slumpmässig intensitet. JEL-klassificering: G13, G39, M Introduktion Moderbolagets optioner (ESO) utgör för närvarande en betydande bråkdel av många företag totala kompensationsutgifter. Det är viktigt att noggrant bedöma kostnaden för dessa alternativ till aktieägarna både för redovisningsändamål och från ett ledande kontrollperspektiv (se Carpenter, 1998 Foster et al. 1991 Jennergren och Naslund, 1993). Sedan 1995 har Financial Accounting Standards Board (FASB) SFAS 123 uppmanat att ange en uppskattning av kostnaden för ESO-bidrag i en fotnot. Även om det inte är nödvändigt, är den rekommenderade värderingsmetoden att använda Black Scholes European Call pricing formula. Den föreslagna mognad som används i denna formel är det förväntade livet, även om det maximala livslängden (vanligtvis 1 år vid beviljande) också kan användas. Rubinstein (1995) argumenterar av teoretiska skäl att endera metoden tenderar att orsaka övervärdering. På samma sätt är Marquardt (1999) empir-Vi är tacksamma för beräkningshjälp från Dmitry Davydov och för kommentarer från Jim Bodurtha, Menachem Brenner, Jennifer Carpenter, Bill Margrabe och Carol Marqurdt. De ansvarar inte för några fel. 2 212 PETER CARR OCH VADIM LINETSKY bestämmer att båda metoderna övervärderar den ekonomiska kostnaden för aktieägarna vid utfärdandet av ESO. ESOs är typiskt långa daterade amerikanska samtal som skiljer sig från standardalternativ eftersom de har en första intjänandeperiod under vilken träning är förbjuden. Även om det är enkelt att bestämma värdet och den optimala träningspolitiken för ESO: er på en friktionsfri marknad, gör vissa institutionella friktioner komplicerade bestämningen av den optimala träningspolitiken för ESO. För det första kan innehavaren av en ESO inte sälja eller överlåta sitt alternativ. Dessutom kan innehavaren inte säkra sitt samtal eftersom korta positioner i bolagets lager är förbjudna. Däremot får emittenten överlåta sitt ansvar eller säkra sin skyldighet. I allmänhet driver denna asymmetri en kil mellan värdet till mottagaren och värdet till emittenten. Båda värdena påverkas av den övningspolicy som används av chefer som i allmänhet bestäms både av allmänt tillgänglig information som aktiekurser och av verkställande specifik information, såsom personlig portföljsammansättning, riskaversion och verkställande efterfrågan på likviditet. Den optimala övningspolicyn som används av verkställande ledningen behöver inte matcha den optimala träningspolicyn som råder i avsaknad av dessa friktioner, eftersom tidig träning kan vara optimal för diversifiering eller likviditetsskäl även om det underliggande beståndet inte betalar utdelningar. En andra anledning till att verkställande direktörens optimala träningspolitik kan avvika från den perfekta marknadspolitiken är att verkställande direktören kan lämna företaget antingen frivilligt eller ofrivilligt medan möjligheten lever. I det här fallet förverkar verkställande direktören sina alternativ om de är out-of-the-money, och kommer att behöva träna tidigt om de är in-the-money. Två allmänna tillvägagångssätt har antagits för att modellera verkställande beslut om beslutsfattande och värdera kostnaden för ESO till företaget. I det första tillvägagångssättet antar man att verkställande direktören utövar alternativet enligt en policy som maximerar sitt förväntade nyttjande med säkringsbegränsningar (Huddart, 1994 Marcus och Kulatilaka, 1994 Detemple och Sundaresan, 1998). I detta tillvägagångssätt måste man uttryckligen modellera sådana observerbara variabler som verkställande s riskaversion, hans utvändiga förmögenhet och den potentiella vinsten från att ändra sin anställning. I det alternativa tillvägagångssättet, en modell tidig träning som en exogen stopptid, t. ex. Den första hopptiden för någon exogen Poisson-process, som i Jennergren och Naslund (1993). Poisson-processen fungerar som en proxy för allt som gör att verkställande direktören utnyttjar möjligheten tidigt, inklusive önskan om diversifiering eller likviditet, och frivillig eller ofrivillig anställningsterminering. I motsats till verktyget maximering är riskfrekvensen eller intensiteten för denna exogena Poisson-process den enda parametern i modellen som måste beräknas från empiriska data. I en intressant nyligen publicerad tidning visar Carpenter (1998) att denna andra reducerade formintensitetsbaserade modell fungerar lika bra eller bättre än den mer komplicerade strukturmodellen i empiriska tester av de två konkurrerande ESO-värderingsmodellerna för att förutsäga aktuella träningsmönster för ett urval av 4 företag. Denna dikotomi när det gäller modellering av verkställighetsbeslutet är parallellt med modelleringen av standardhändelser som krävs vid värderingen av kreditriskrisken. De 3 alternativa lageroptionerna i en intensitetsbaserad ram 213 litteratur om prissättning kreditrisk skuld kan indelas i två klasser: strukturella modeller och reducerad form intensitet-baserade modeller. Den första klassen av modeller, som går tillbaka till Black and Scholes (1973) och Merton (1974), modellerar standardhändelsen strukturellt som ett aktieoptimeringsbeslut av aktieägarna (se Leland (1994) och Leland och Toft (1996)). Den andra klassen av modeller är reducerade formmodeller som exogent anger standard som förekommer vid den första hopptiden för en punktprocess med slumpmässig intensitet (default hazard rate) (se Duffie et al. 1996 Duffie and Singleton, 1998 Jarrow and Turnbull, 1995 Jarrow et al. 1996 Lando, 1998 Madan och Unal, 1996, 1998). Davydov et al. (1998) värderar kreditriskig skuld i det intensitetsbaserade ramverket, vilket innebär ett tillvägagångssätt som liknar vårt. I alla sådana modeller kalibreras punktprocessens intensitet till empiriska data. På grund av den relativa enkelheten i kalibrering och empirisk testning, är den reducerade formmodelleringsfilosofin en stor popularitet på kreditmarknaderna. Bidraget från detta dokument är dubbelt. För det första utvecklar vi en generell stokastisk intensitetsbaserad ram för värdering av ESO där den tidiga övningen eller förverkandeintensiteten h (t, t) beror på underliggande aktiekurs och tid. För det andra föreslår vi två enkla analytiskt dragbara specifikationer av riskbaserade modeller av ESO. I det första exemplet specificeras intensiteten enligt följande (förutsatt att ESO är etablerad): ht lambda f lambda e 1, (1) där S t är det underliggande aktiekursen, K är ESO: s aktiekurs, lambda f är konstant intensitet av tidig övning eller förverkande på grund av exogen frivillig eller ofrivillig anställningsterminering (antagen oberoende av aktiekursen) och lambda e 1 är den intensiva intensiteten i den tidiga övningen på grund av den exekutiva önskan om likviditet eller diversifiering som antogs positivt och konstant om ESO är in-the-money och noll annars (1 A är indikatorfunktionen för händelsen A e i lambda e står för träning). Således är intensiteten av förverkande när stocken är out-of-the-money är lambda f (f står för förverkande), medan den totala intensiteten av tidig träning när alternativet är in-the-money är lambda f lambda e. Den integrerade risken beror linjärt på den underliggande stockens yrkestid över strejken K (det vill säga när ESO är in-the-money) och motsvarande ESO-värderingsmodell drar vissa senaste resultat på arbetstidstidsderivat (se Akahori, 1995 Chesney et al. 1997 Dassios, 1995 Davydov och Linetsky, 1998 Embrechts et al. 1995 Hugonnier, 1998 Linetsky, 1998, 1999 Pechtl, 1995, 1998). I det andra analytiskt tänkbara exemplet specificeras intensiteten enligt följande (förutsatt att ESO är etablerad): h t lambda f lambda e (ln S t ln K). (2) 4 214 PETER CARR OCH VADIM LINETSKY I det här fallet är den första terminen på grund av uppsägningen fortfarande oberoende av aktiekursen 1, men den andra terminen på grund av likviditets önskan eller diversifiering är nu en monotont ökande funktion av underliggande aktiekurs om ESO är in-the-money och noll annars (x: x1 betecknar den positiva delen av x). Den integrerade risken beror linjärt på det sk Brown-området och motsvarande ESO-värderingsmodell bygger på resultaten från Davydov, Linetsky och Lotz (1998) om områdesalternativ. Resten av detta dokument är organiserad enligt följande. I avsnitt 2 betraktar vi en generell stokastisk intensitetsbaserad ram för värdering av ESO. I avsnitt 3 löser vi modellen med intensitetsspecifikationen i (1). I avsnitt 4 löser vi modellen med intensitetsspecifikationen (2). Numeriska exempel finns i avsnitt 5. Avsnitt 6 avslutar papperet. 2. En generell intensitetsbaserad formulering Vi antar friktionslösa marknader, inga utdelningar, en konstant riskfri r och att det underliggande aktiekursen följer följande diffusionsprocess under risknivel sannolikhetsmåttet Q: ds t rs t dt sigma (st, t ), där Wt Q är en vanlig brunisk rörelse, börjar processen vid SS vid tiden t och den lokala volatilitetsfunktionen sigma (s, t) antas kontinuerlig och strikt positiv för alla S ,) och begränsas som S (för alla t). Tidpunkten för tidig träning eller förverkan T kan ses som den första hopptiden för en punktprocess med slumpmässig intensitet (riskfrekvens) h t, vilket i allmänhet är en funktion av tiden och det underliggande aktiekursen, h t h (s t, t). Då är sannolikheten under Q om ingen tidig övning upp till tiden t för en given aktiekursväg (se Bremaud (198) och Lando (1998) för detaljer om punktprocesser med slumpmässig intensitet): och Q (T gtt) et , u) du, (3) Q (T gtt) EQ, S et (su, u) du, där förväntan är med hänsyn till den riskneutrala åtgärden Q. Att låta vara ESO-bidragsdatum och tv, T vara ESO-intjänandatumet, värdet till t, T för en outnyttjad ESO med aktiekurs K och löptid T ges av riskneutrala förväntningar: 1 I allmänhet kan man också göra förverkandeintensiteten lambda fa funktionen av aktiekursen argumentera att verkställande direktören är mer benägna att lämna företaget när aktiekursen är låg i förhållande till hans eller hennes ESOs lösenpris. För enkelhet antar vi att lambda f är konstant. 5 EXECUTIVE STOCK OPTIONS I EN INTENSITETSBASERAD RAM 215 C (S, t K, T) er (tt) EQ t, s 1 (STK) EQ t, ser (tt) 1 (STK), (4) där T är en stopptid som antas vara den första hopptiden för punktprocessen med intensitet ht, och abonnenten t, s i förväntningsoperatören E t, s betyder att aktiekursen är S vid tiden t. Observera att, efter Jennergren och Naslund (1993), antar vi att hoppa risken är obestämd, dvs att den kan diversifieras bort genom att utfärda en diversifierad portfölj av ESO. Eftersom många företag utfärdar flera ESO 2, anser vi detta som ett rimligt antagande i praktiken. Första termen på högra sidan av ekvation (4) är nuvärdet av optionsavräkningen vid förfallodag, givet ingen tidig övning. Den andra termen är nuvärdet av utbetalningen vid tidpunkten för träningen, med tanke på att optionen utnyttjas tidigt. Denna sönderdelning av värde är analog med en sönderdelning av värde som uppstår för försumliga värdepapper. Den första termen i (4) är analog med nuvärdet av den utlovade betalningen, förutsatt att det inte är någon standard, medan den andra termen är nuvärdet av den återbetalningsbetalning som betalas vid tidpunkten för mislighållning om det föreligger förfall före förfallodagen. På grund av nyckelförhållandet (3) kan förväntan omskrivas i formuläret: e C (S, t K, T) er (tt) EQ t, s max (tv, t) er (ut) EQ t , sthu du (STK) euths ds hu (S u K) du. Genom Feynman-Kac-teorin (se t. ex. Karatzas och Shreve (1992)) är ESO-värdet C (S, t K, T) vid tid t, t lt den unika lösningen på Cauchy-problemet för PDE: 1 2 sigma 2 (S, t) s 2 2 CS rs C 2 S rc h (s, t) 1 (SK) CC t underkastat det slutliga tillståndet, (5) C (S, TK, T) . (6) Den ekonomiska betydelsen av den andra sista termen på vänster sida av ekvation (5) är att under en oändlig tidsperiod dt finns det en sannolikhet för att verkställande direktören utövar sin möjlighet och mottagande (S t K ) i utbyte om ESO är etablerad (t gtt v) och inget annat (alternativet förverkas). Förutom ESO-värdet är vi också intresserade av den förväntade tiden för övning eller förverkande (förväntad ESO-mognad): T TE P, S 1 EP, S 1 T, (7) 2 Marquardt (1999) undersöker exempelvis 58 Fortune 1-företag över 21 år och finner i genomsnitt 17 bidrag per firma. 6 216 PETER CARR OCH VADIM LINETSKY och det förväntade aktiekurset vid tidpunkten för övning eller förverkande: S T E P, S 1 S T E P, S 1 S T. (8) Observera att, i motsats till den ESO-värdesberäkning som utförs under den riskneutrala åtgärden Q, beräknas dessa kvantiteter under statistisk mätning P där: ds t ms t dt sigma (st, t) st dw P t, SS och m är den förväntade årliga procentuella avkastningen på beståndet i den verkliga världen (m antas konstant). Med hjälp av nyckelförhållandet (3) (betraktat under P) är det lätt att se att ekvationerna (7) - (8) reduceras till: och TP (T gtt) TP (TT) t dt P (T gtt) dt teth su, u) du dt, (9) EP, SSTE, S e PTT h (st, t) dt STE, S e P th (su, u) du (st, t) st dt. (1) Carpenter (1998), Huddart och Lang (1996) och Marquardt (1999) ger alla empiriska förväntade tider av träning och genomsnittliga aktiekurser vid tidpunkten för övningen för sina prover. Med tanke på värdena på parametrarna m, sigma, S, t v och andt kan man kalibrera övningen eller förkastningsintensiteten h t till empiriska data med hjälp av ekvationerna (9) och (1). 3. Arbetstidsspecifikationen: Ett stegalternativsmodell för att värdera ESO: er I det här avsnittet begränsar vi den inställning som diskuterades i föregående avsnitt med sikte på att erhålla uttryckliga lösningar för intressekvantiteterna. Vi antar konstant volatilitet, dvs sigma (s, t) sigma, och att alternativet är etablerat, dvs tv (vi sträcker sig till alternativen som ännu inte finns i slutet av detta avsnitt). Vi betraktar också en särskilt enkel specifikation för övning eller förverkandeintensitet: ht lambda f lambda e 1, (11) där S t är det underliggande aktiekursen, K är ESO: s aktiekurs, lambda f är den konstanta intensiteten i början övning eller förverkande på grund av den exogena frivilliga eller ofrivilliga anställningsavslutningen (antagen oberoende av aktiekursen), 7 EXECUTIVE STOCK OPTIONS I EN INTENSITETSBASERAD RAM 217 och lambda e 1 är den konstanta intensiteten i den tidiga övningen på grund av exekutiva Behovet av likviditet eller diversifiering antogs positivt och konstant om ESO är in-the-money och noll annars. Under dessa antaganden förenklar det initiala (dvs t) ESO-värdet (4) till 3. C (SK, T lambda f, lambda e) e (rlambda f) TEQ, S e lambda etau K (T) (STK) f lambda e) e (rlambda f) t EQ, S e lambda etau K (t) (S t K) dt, (12) där tau K (t) t du är besättningstiden för pengarna regionen upp till tiden t. Denna förväntan kan uttryckas som en portfölj med geometriska stegalternativ med upp-och-ut-takt med utlösnings-lambda e och utfallbarriär som är lika med strejken: C (SK, T lambda, lambda e) och lambda f TC lambda e ST, K, K) (lambda f lambda e) e lambda ft C lambda e (S t, k, k) dt, (13) där C lambda e (S t, k, k) är värdet av en upp - ut-och-ut-geometrisk stegsamtal med streckkurs K, utlösnings-lambda e, utslagbarhetsnivå K och löptid t (se Linetsky (1998, 1999)): C lambda e (S t, k, k) e rt EQ, S e lambda etau K (t) (S t K). (14) Utbetalningen vid mognad t av ett geometriskt stegsamtal kan tolkas som det för ett standardsamtal, förutom att den underliggande delen är teoriberoende, eftersom den beror på besättningstiden ovanför strejken: e lambdatau K (t ). Med andra ord förlorar ett geometriskt stegsamtal en viss fraktion av dess notionalitet per tidsenhet ovanför barriären. Introducera följande notering: x: 1 sigma ln (SK), nu: 1 sigma (r sigma 2 Då minskar förväntan i ekvation (14) till: 2), xi: r nu2 2. (15) C lambda e t, k, k) e (xilambda e) nux K lambdae (nu sigma, x, t) lambdae (nu, x, t), (16) 3 Observera att den konstanta förverkande intensiteten lambda f läggs till diskonteringsräntan i ekvation (12). Intuitivt sänker möjligheten att förlora värdet av ESO på samma sätt som möjligheten att försumma sänkt värdet på ett försumligt värdepapper, och förkastningsintensiteten läggs till den riskfria räntan som kreditspread. 8 218 PETER CARR OCH VADIM LINETSKY där funktionen definieras som: rho (nuk, x, t): E, xe nuw t rho (t) 1, (17) där förväntningen E, x är betingad av den bruniska rörelsen W t börjar vid x vid t och (t) t 1 du är occupationstiden för den negativa halvlinjen (,) upp till tiden t. 4 Denna förväntan beräknas i sluten form i Linetsky (1999). För läsarens bekvämlighet anges funktionens uttryckliga analytiska form i bilaga A. Således ger ekvationerna (13) och (16) en enkel analytisk lösning för ESO-värdet enligt specifikationen (11) för övning och förlorande intensitet . Den förväntade tiden för övning eller förverkan (9) enligt denna beskrivning är: T e (lambda f lambda e nup 2 2) t nu P x lambdae (nu P, x, t) dt, (18) där ST beräknas under den statistiska åtgärden P): nu P: 1 sigma (m sigma 2 2). (19) Det förväntade aktiekurset vid tidpunkten för övning eller förverkande är: ST e (lambda f lambda e nu 2 P 2) T nu P x K lambdae (nu P sigma, x, t) K e (lambda f lambda e nu 2 P 2) T nu P x lambda f lambdae (nu P sigma, x, t) lambda e lambdae (nu P sigma, x, t) dt. (2) Överväg nu fallet t v gt, det vill säga alternativet är ännu inte fastat. Antag att S v S (t v) är aktiekursen på intjänandedagen. ESO-värdet på intjäningsdatumet tv ges av C (S v K, T tv lambda f, lambda e) definierat av ekvation (13) (observera att tiden till förfall är nu lika med T tv, så vi måste ersätta TT tv i ekvation (13)). Då beräknas ESO-värdet vid tid t genom att förvänta sig: C (S, K, tv, t lambda f, lambda e) e (rlambda f) tv C (S v K, T tv lambda f, lambda e) p Q (Sv, tv S,) dS v, (21) 4 För bakgrunden på ockupationstider och andra funktionaliteter av Browns rörelse - och diffusionsprocesser, liksom Feynman-Kac-typberäkningar av deras lagar, se Karatzas och Shreve ( 1992), Borodin och Salminen (1996) och Revuz och Yor (1994). 9 EXECUTIVE STOCK OPTIONS I EN INTENSITETSBASERAD RAM 219 där p Q är den (lognormala) sannolikheten för aktiekursen på inlösendagen, med tanke på det kända aktiekursen idag (vid tidpunkten t): (Sv, TV S) exp S microtv, micro r sigma 2 S v 2pisigma2 tv 2sigma 2 tv 2. (22) 4. Den Brownian Area Specification: En områdesalternativsmodell för att värdera ESO Som i föregående avsnitt antar vi först att alternativet redan är etablerat, dvs tv. Under arbetstidsspecifikationen är träningsintensiteten intensivt över strejken. Ett analytiskt dragbart alternativ är: ()) Lambda f lambda e (ln S t ln K) St lambda f lambda e (ln. (23) K I det här fallet är den första terminen på grund av frivillig eller ofrivillig anställningsavslutning fortfarande oberoende av aktiekursen, men den andra terminen på grund av likviditets önskan eller diversifiering är nu en ökande funktion av moneyness S t K om ESO är in-the-money och noll annars (x betecknar den positiva delen av x). En liknande specifikation för standardriskfrekvensen användes av Davydov, Linetsky och Lotz (1998) för att modellera kreditrisken för företagsskulden. Det beräknade ESO-värdet (4) enligt denna specifikation har formen:) C (SK, T lambda f, lambda e) e (rlambda f) TEQ, S exp (lambda e (ln S t ln K) dt (STK) t (e lambda f) t EQ, S exp (lambda e (ln u lnk) du (24) K För att beräkna denna förväntning noterar vi först att aktiekursprocessen kan representeras som: S t Ke sigma (nutw t), (25) där W t är en brunisk rörelse som börjar vid x (definierad i ekvation (15)) vid tiden t. Därefter på grund av Girsanovs teorem: C (SK, T lambda f, lambda e) e (rlambda f) TE, xe nu (w T x) nu2 2 T sigmalambda e W t dt (Ke sigmaw TK) e (rlambda f) T e, xe nu (wtx) nu2 2 t sigmalambda te W u du lambda f sigmalambda e W t 22 22 PETER CARR OCH VADIM LINETSKY (Ke sigmaw K K) dt e (xilambda f) T nux K sigmalambdae (nu sigma, x , t) sigmalambdae (nu, x, t) e nux K e (xilambda f) t lambda f sigmalambdae (nu sigma, x, t) sigmalambdae (nu sigma, x, t) lambda f sigmalambdae (nu, x, t) sigmalambda e nu sigmalambdae (nu, x, t) sigmalambda e dt, (26) nu där vi introducerade följande notation: alfa (nu k, x, t): E, xe nuw t alfa t 1, : t va du du (28) Funktionell A t kallas bruntområde tills tid t (se Perman och Wellner, 1996). Det är lika med det (slumpmässiga) området under den positiva delen av en brunisk provväg från noll till tid t. Förväntningen i ekvation (27) beräknas av Davydov, Linetsky och Lotz (1998) via Feynman-Kac teorem: alfa (nu k, x, t) e nuy E, xe alfa t W t dy kke nuy L 1 t dy, (29) där förväntan inuti integralet uttrycks som den inverse Laplace-transformen i s för upplösningskärnan G alfa (x, ys). Den analytiska formen finns i bilaga B. 5 Den förväntade tiden för övning eller förverkande enligt denna beskrivning är: T e (lambda f nup 2 2) t nu P x sigmalambdae (nu P, x, t) dt, (3) där nu P ges i ekvation (19). Det förväntade aktiekurset vid tidpunkten för övning eller förverkande är: 5 Beräkningen av denna funktion ligger nära andan till beräkningarna av Geman och Yor (1993) för asiatiska alternativ och Geman och Yor (1996) för dubbelbarriär alternativ och förlitar sig på formeln Feynman-Kac. 11 EXECUTIVE STOCK OPTIONS I EN INTENSITETSBASERAD RAM 221 ST e (lambda f nup 2 2) T nu P x K sigmalambdae (nu P sigma, x, t) K e (lambda f nup 2 2) nu P x lambda f sigmalambdae (nu P sigma, x, t) sigmalambda e sigmalambdae (nu P sigma, x, t) nu P dt. (31) Fallet t v gt, det vill säga alternativet är ännu inte etablerat, behandlas på liknande sätt som ekvation (21). 5. Numeriska exempel För att illustrera våra modeller, överväga ett tio år som ESO beviljats till-the-money 6 (S K 1) och anlitas omedelbart (tv). Vi antar att den underliggande aktien har en volatilitet på 3 per år, betalar ingen utdelning, den riskfria räntan är 5 per år och den förväntade årliga procentuella avkastningsräntan på aktien under statistisk mätning P är m 15 per år (erinrar om att förväntad tid för övning eller förverkande och det förväntade aktiekursen vid tidpunkten för övning eller förverkande beräknas enligt den statistiska åtgärden). Tabellerna I och II ger ESO-värdet vid bidragsdatumet, den förväntade tiden för övning eller förverkande och det förväntade aktiekurset vid tidpunkten för övning eller förverkande som funktion av parametrarna för punktprocessen lambda f och lambda e under yrket tidsspecifikation (11) respektive Brownian-områdespecifikationen (23). För lambda f lambda e är ESO-värdet lika med det tioåriga Black-Scholes-värdet, den förväntade träningstiden är lika med ESO-löptiden (tio år) och det förväntade aktiekurset vid tidpunkten för övningen är lika med e 1m S (ingen tidig övning eller förverkande). När takten lambda f och lambda e ökar, minskar ESO-värdet, förväntad övning eller förverkande tid och det förväntade aktiekurset vid tidpunkten för övning eller förverkande. Med T och S T kan man kalibrera våra modeller genom att backa ut intensitetsparametrarna lambda f och lambda e och värdera ESOs med dessa parametervärden. Carpenter (1998) rapporterar att genomsnittliga övningstider för 1 år ESO i hennes urval är ca 5,8 år, med genomsnittlig aktiekurs vid tidpunkten för övningen av cirka 2,8 gånger ESO-aktiekursen. Marquardt (1999), som studerar ett annat urval av ESO-beviljande företag, rapporterar att genomsnittliga övningstider för 1 år ESO i hennes urval är ca 5,6 år, med genomsnittlig aktiekurs vid tidpunkten för övningen av cirka 2,2 gånger ESO-aktiekursen . Således är empiriskt typiska träningstider inom fem till sex år, med aktiekursen vid tidpunkten för utövandet av två till tre gånger ESO-strejken. Tänk på ett exempel på ockupationstidsmodellen med lambda f 8 per år och lambda e 12 per år. Den förväntade träningstiden för dessa intensiteter är 4,99 år, med det förväntade aktiekursen vid tidpunkten för utövandet av 2,31 gånger ESO 6 Marquardt (1999) fann att 85 av de 987 ESO: erna i sitt urval utfärdades med tio år till löptid. Hon säger att de flesta är utfärda med strejk lika med aktiekurs vid beviljande. 12 222 PETER CARR OCH VADIM LINETSKY Tabell I. Yrkestidsmodell. ESO-värden, förväntade tider av övning eller förverkande och förväntade aktiekurser vid tidpunkten för övning eller förverkande som funktioner av intensitetsparametrarna lambda f och lambda e. Parametrar: K 1, S 1, T 1 år, sigma .3, r .5, m. 15, tv, ingen utdelning lambda e lambda f ESO-värde Förväntad övning eller förverkande tid (år) Förväntad aktiekurs vid tidpunkten för träning eller förverkande i förhållande till strejk 13 EXECUTIVE STOCK OPTIONS I EN INTENSITETSBASERAD RAM 223 Tabell II. Arealmodell. ESO-värden, förväntade tider av övning eller förverkande och förväntade aktiekurser vid tidpunkten för övning eller förverkande som funktioner av intensitetsparametrarna lambda f och lambda e. Parametrar: K 1, S 1, T 1 år, sigma .3, r .5, m. 15, tv, ingen utdelning lambda e lambda f ESO-värde Förväntad övning eller förverkande tid (år) Förväntad aktiekurs vid tidpunkten för träning eller förverkande i förhållande till strejk 14 224 PETER CARR OCH VADIM LINETSKY strejk. Det ESO-värde som motsvarar dessa parametrar är däremot den FASB-rekommenderade värderingsmetoden att använda Black Scholes European Call Pricing-formel. Löptiden som används i denna formel kan vara antingen förfallodagen (tio år i det här fallet) eller en uppskattning av det förväntade livet (4,99 år i det här fallet). Det motsvarande Black-Scholes-värdet av ett tioårsanrop är det är 56,38 högre än det värde som förutspås av vår modell. Black-Scholes-värdet på ett 4,99 års samtal är 35,92, 6,87 högre än det värde som förutspås av vår modell. Sålunda är ESO-värdena beräknade enligt den intensitetsbaserade modellen signifikant lägre än motsvarande Black-Scholes-värden, vilket svarar för det verkliga suboptima beteendet hos verkställande. Detta har betydande bokföringseffekter. Om man skulle värdera ESO för redovisningssyfte med hjälp av Black-Scholes-modellen enligt FASBs rekommendation, skulle man avsevärt överstiga sina sanna kostnader till aktieägarna och oskäligt straffa företag som beviljar ESO. 6. Slutsatser och riktlinjer för framtida forskning Bidraget från detta dokument är dubbelt. För det första utvecklar vi en generell stokastisk intensitetsbaserad ram för värdering av aktieoptioner. För det andra föreslår vi två analytiskt dragbara specifikationer för övning och förverkandeintensitet. Båda specifikationerna har formen (förutsatt att ESO är etablerad): ht lambda f lambda e phi (st) 1, där lambda f är den konstanta Poissonintensiteten för tidig träning eller förverkan på grund av tidig frivillig eller ofrivillig anställningsavslutning och lambda e phi (st) 1 är den tidiga träningsintensiteten på grund av verkställandens önskan om likviditet eller diversifiering. Den senare intensiteten är endast positiv när alternativet är in-the-money. Enligt den första specifikationen, phi (s) 1. Detta leder till den analytiskt trakta ockupationstidsmodellen för ESO, där sannolikheten för tidig träning på grund av verkställandens önskan om likviditet eller diversifiering beror på occupationstiden för in-themoney-regionen . Under den andra specifikationen leder phi (s) ln S ln K, vilket leder till den analytiskt drakbara Brownian-områdesmodellen. Båda specifikationerna återspeglar det faktum att det finns två olika ekonomiska faktorer som påverkar beslutet om verkställande motion. Det här är verkställandens önskan om likviditet eller diversifiering, som endast inducerar övning när alternativet är inriktat och i pengar, och möjligheten till frivillig eller ofrivillig anställningsavslutning (detta är lika troligt när alternativet är in-eller ut-av - pengarna och antas vara oberoende av aktiekursen). Vi hävdar att vår specifikation med två separata intensitetsparametrar ger en mer fullständig beskrivning av den ekonomiska situationen vid handen än tidigare arbete 7 som modellerade tidig övning och förverkande som uppstått av en Poisson-process med en enda konstant intensitetsparameter oberoende av aktiekursen. 7 Se Shimko (199) och Jennergen och Naslund (1993) för det speciella fallet med vår modell med lambda e. 15 EXECUTIVE STOCK OPTIONS I EN INTENSITETSBASERAD RAM 225 Våra resultat kan vidareutvecklas på flera sätt. För det första, i praktiken återställer företagen ibland villkoren för tidigare utfärdade ESO, särskilt när fallande aktiekurser har flyttat alternativet djupt utan pengar. I ett intressant nyligen arbetat utvecklar Brenner, Sundaram och Yermack (1998) en modell för att värdera ESO: er, vilket står för möjligheten att prissätta. Repricing innebär att man anger ett nytt aktiekurs när aktiekursen sjunker avsevärt. 8 När alternativet återges är det nya aktiekursen specificerat (i praktiken är den nya strejken ofta satt lika med den dåvarande aktiekursen, det vill säga alternativet skrivs om på nytt). Brenner, Sundaram och Yermack (1998) noterar att, om man ignorerar möjligheten till tidig övning eller förverkande, en ESO vars aktiekurs K kommer att förändras till K första gången aktiekursen faller under en förutbestämd barriär B, kan värderas som en portfölj av ett ned-och-ut-samtal med strejkpriset K (gammal strejk) och ett inkommande samtal med strejken K (ny strejk). Då används standardvärderingsvärderingsformlerna för att värdera ESO (se Rubinstein och Reiner (1991) till exempel). Vårt sätt att modellera tidig träning och förverkande kan utökas till ESO: er som är föremål för repressering på detta sätt genom att lägga till ett lägre hinder för vår analys. Consistent with our approach to modeling forfeiture and early exercise, an alternative approach to modelling repricing is to assume that it occurs at the first jump time of a point process, with some intensity dependent on the stock price. One possible (and analytically tractable) choice would be: h t lambda r 1 , where H is some barrier set at or below the strike K, andlambda r is constant. We note that the model of Brenner, Sundaram, and Yermack (1998) arises as a special case of this framework by letting lambda r approach infinity. A second possible (and analytically tractable) choice for the specification of the repricing intensity would be: h t lambda r (ln H ln S t ) , where again H K, andlambda r is constant. As in the first specification, the probability of repricing in this model is zero if the option is in-the-money and positive when the option is out - of-the-money. Now, however the probability of repricing increases as the stock price declines below the barrier H. Second, our methodology can be extended to indexed ESOs. Johnson and Tian (1999) design and develop a pricing model for an ESO with a strike price indexed to a benchmark index. The indexed option filters out common risks beyond the executive s control, thereby increasing the efficiency of incentive contracts by focusing them on the relative performance of the company stock relative to a benchmark. Johnson and Tian (1999) derive the ESO pricing formula based on 8 The empirical evidence in Chance, Kumar, and Todd (1999) suggests that ESOs are usually repriced when the stock declines by about 25 16 226 PETER CARR AND VADIM LINETSKY Margrabe s (1978) exchange option formula, ignoring the effects of early exercise and forfeiture. Our approach can be used to relax the latter assumption. A third extension of this line of research would involve valuing ESOs of companies which pay sizeable dividends. Formally, this is an extension of our results to time and stock price dependent intensity which becomes infinite if the stock price is above the critical stock price at an ex-dividend date. This extension would be most relevant for firms such as utilities which typically have large dividends and low volatilities. Finally, our methodology can be applied to value other assets. For example, it is well known that mortgages are not usually prepaid optimally and that companies often call their debt late. Potential explanations for late calling include bounded rationality, signalling phenomena, or agency costs. The latter two explanations account for the realistic possibility that the decision depends on private as well as public information. A model in which the probability of prepayment or call depends on the interest rate (and stock prices in the case of callable convertibles) might tractably capture the behavior of investors or managers more reliably than requiring that decisions be based on publicly available information. In general, the implications for asset pricing of optimizing behavior based on both public and private information is a fascinating avenue for future research. Appendix A. The expectation E, x e nuw T rho (T ) 1 Let tltt. Introduce the following notation: d 1 d 3 d 5 d 7 k x nut T, d 2 d 1 sigma T, k x nut T, d 4 d 3 sigma T, k x nut t, d 6 d 5 sigma t, k nut t, d 8 d 7 sigma t, C 1 1 x2 T t nux, C 2 t 12 C 1 t 32 xk, C 3 C 1 sigmax. Then the function rho (nu k, x,t ) E x e nuw T rho (T ) 1 (Linetsky, 1999): is given by 17 EXECUTIVE STOCK OPTIONS IN AN INTENSITY-BASED FRAMEWORK 227 Region I: k andx rho I nu2 (nu k, x,t ) enux 2 T N(d 1 ) e nux nu2 2 T N(d 3 ) Region II: k andx 9 II rho (nu k, x,t ) Region III: k andx III rho e nux (1 e rho(t t) )e nu2 2 t 2pirho(T t) 32 (1 e rho(t t) )e nu2 2 t 2pirho(T t) 32 e x2 2(T t)dt (nu k, x,t ) rho I (nu, x,t) e rhot rho II ( nu k, x, t ) Region IV: k andx where IV rho N(x) 1 2pi x II rho nun(d5 ) t 12 N (d 5 ) dt nuc1 N(d 7 ) C 2 N (d 7 ) ( nu, x, t ) (nu k, x,t ) II rho (nu, x,t) e rhot rho I ( nu, x, t ) ( nu k, x, t ), I rho e z2 2 dz, N (x) dn(x) dx is the cumulative standard normal and its density. B. The expectation E, x e nuw t alphaa t 1 Introduce the following notation: 1 2pi e x2 2 y 1 (2alpha) 23 (2s 2alphay), y 2 (2alpha) 23 2s, y 3 (2alpha) 23 (2s 2alphax), W plusmn 2sAi(y 2 ) plusmn (2alpha) 13 Ai (y 2 ), V 2sBi(y 2 ) (2alpha) 13 Bi (y 2 ), where Ai(z) and Bi(z) are Airy functions defined by (Abramowitz and Stegun, 1965): Ai(z) 1 ) cos (uz u3 du, pi 3 Bi(z) 1 ) ) exp (uz u3 sin (uz u3 du. pi For k , the function rho II (nu, x,t) is defined as a limit of the integral for k. rho II(nu, x,T) lim k rho II (nu k, x, T ). 18 228 PETER CARR AND VADIM LINETSKY Then the function G alpha (x, y s) entering the expression (29) and defined as the Laplace transform e st E, x e alphaa t W t dy dt G alpha (x, y s)dy is given by (Davydov et al. 1998): Region I: x y G I alpha (x, y s) 2Ai(y 1) e 2sx, W Region II: x y ( G II 1 alpha (x, y s) e 2s(x y) W ) e 2s(xy), 2s W Region III: y x G III alpha (x, y s) GII(y, x s), Region IV: y x G IV alpha (x, y s) GI alpha (y, x s ), Region V: y x G V alpha (x, y s) 2piAi(y 3) (2alpha) 13 Region VI: x y alpha Bi(y 1 ) V Ai(y 1 ), W G VI alpha (x, y s) GV alpha (y, x s). The Airy functions are computed using the asymptotic expansions found in Abramowitz and Stegun (1965). To compute the inverse Laplace transform in Equation (29) numerically, we employ the Euler algorithm developed by Abate and Whitt (1995). This algorithm was previously applied to option pricing problems by Fu, Madan, and Wang (1998) and Davydov and Linetsky (1998). Then the integral in y in (29) is calculated numerically. Finally, (26) gives the ESO value under the forfeiture and early exercise intensity specification (23). References Abate, J. and Whitt, W. (1995), Numerical inversion of Laplace transforms of probability distributions, ORSA Journal of Computing 7, Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (1965), Handbook of Mathematical Functions, Dover, New York. Akahori, J. (1995), Some formulae for a new type of path-dependent option, The Annals of Applied Probability 5(2), 19 EXECUTIVE STOCK OPTIONS IN AN INTENSITY-BASED FRAMEWORK 229 Black, F. and Scholes, M. (1973), The pricing of options and corporate liabilities, Journal of Political Economy 81, Borodin, A. N. and Salminen, P. (1996), Handbook of Brownian Motion, Birkhauser, Boston. Bremaud, P. (198), Point Processes and Queues Martingale Dynamics, New York, Springer - Verlag. Brenner, M. Sundaram, R. and Yermack, D. (1998), Altering the terms of executive stock options, forthcoming in Journal of Financial Economics. Carpenter, J. N. (1998), The exercise and valuation of executive stock options, Journal of Financial Economics 48, Chance, D. Kumar, R. and Todd, R. (1999), The Re-pricing of Executive Stock Options, Virginia Polytechnic Institute working paper. Chesney. M. Jeanblanc-Picqueacute, M. and Yor, M. (1997), Brownian excursions and Parisian barrier options, Advances in Applied Probability 29, Dassios A. (1995), The distribution of the quantile of a Brownian motion with drift and the pricing of related path-dependent options, The Annals of Applied Probability 5(2), Davydov, D. and Linetsky, V. (2), Structuring, pricing and hedging double barrier step options, forthcoming in Journal of Computational Finance. Davydov, D. Linetsky, V. and Lotz, C. (1998), The Hazard-rate Approach to Pricing Risky Debt: Two Analytically Tractable Examples, Working paper, Northwestern University. Detemple, J. and Sundaresan, S. (1999), Non-traded asset valuation with portfolio constraints: A binomial approach, Review of Financial Studies 12, Duffie, D. Schroder, M. and Skiadas, C. (1996), Recursive valuation of defaultable securities and the timing of resolution of uncertainty, Annals of Applied Probability 6, Duffie, D. and Singleton, K. (1999), Modeling term structures of defaultable bonds, Review of Financial Studies 12, Embrechts P. Rogers, C. and Yor, M. (1995), A proof of Dassios representation of the alpha-quantile of Brownian motion with drift, The Annals of Applied Probability 5(3), Foster, T. Koogler, P. and Vickrey, D. (1991), The valuation of executive stock options and the FASB proposal, The Accounting Review 66, Fu, M. Madan, D. and Wang, T. (1997), Pricing Asian options: A comparison of analytical and Monte Carlo methods, Computational Finance 2, Geman, H. and Yor, M. (1993), Bessel processes, Asian options and perpetuities, Mathematical Finance 3, Geman, H. and Yor, M. (1996), Pricing and hedging double barrier options: A probabilistic approach, Mathematical Finance 6, Huddart, S. (1994), Employee stock options, Journal of Accounting and Economics 18, Huddart, S. and Lang, M. (1996), Employee stock option exercises: An empirical analysis, Journal of Accounting and Economics, pp Hugonnier, J. (1998), The Feynman-Kac Formula and Pricing Occupation Time Derivatives, ESSEC working paper. Jarrow, R. Lando, D. and Turnbull, S. (1997), A Markov model for the term structure of credit risk spreads, Review of Financial Studies 1, Jarrow, R. and Turnbull, S. (1995), Pricing derivatives on financial securities subject to credit risk, Journal of Finance, March, Jennergren, L. and Naslund, B. (1993), A comment on the valuation of executive stock options and the FASB proposal, The Accounting Review 68, Johnson, S. A. and Tian, Y. S. (1999), Indexed executive stock options, Journal of Financial Economics, forthcoming. Karatzas, I. and Shreve, S. (1992), Brownian Motion and Stochastic Calculus, Springer-Verlag, New York. 20 23 PETER CARR AND VADIM LINETSKY Lando, D. (1998), On Cox processes and credit risky securities, Review of Derivatives Research 2, Leland, H. E. (1994), Corporate debt value, bond covenants, and optimal capital structure, Journal of Finance 49, Leland, H. E. and Toft, K. B. (1996), Optimal capital structure, endogenous bankruptcy, and the term structure of credit spreads, Journal of Finance, July, Linetsky, V. (1998), Steps to the barrier, RISK, April, Linetsky, V. (1999), Step options, Mathematical Finance 9, Madan, D. and Unal, H. (1996), Pricing the risk of default, Review of Derivatives Research 2, Madan, D. and Unal, H. (1998), A two-factor hazard-rate model for pricing risky debt in a complex capital structure, Journal of Financial and Quantitative Analysis, forthcoming. Marcus, A. and Kulatilaka, N. (1994), Valuing employee stock options, Financial Analysts Journal 5, Margrabe, W. (1978), The value of an option to exchange one asset for another, Journal of Finance 33, Marquardt, C. (1999), The Cost of Employee Stock Option Grants: An Empirical Analysis, Working paper, New York University. Merton, R. C. (1973), Theory of rational option pricing, Bell Journal of Economics and Management Science 4, Merton, R. C. (1974), On the pricing of corporate debt: The risk structure of interest rates, Journal of Finance 29, Pechtl, A. (1998), Some Applications of Occupation Times of Brownian Motion with Drift in Mathematical Finance, Working paper, Deutsche Bank, Frankfurt. Pechtl, A. (1995), Classified information, in Over the Rainbow, Risk publications, pp Perman, M. and Wellner, J. (1996), On the distribution of Brownian areas, Annals of Applied Probability 6, Revuz, D. and Yor, M. (1999), Continuous Martingales and Brownian Motion, 3rd edn, Springer, Berlin. Rubinstein, M. (1995), On the accounting valuation of employee stock options, Journal of Derivatives, Rubinstein, M. and Reiner, E. (1991), Breaking down the barriers, RISK 4, Shimko, D. (199), Autonomously Exercised Options, Working paper, University of Southern California. The Valuation of Executive Stock Options in an Intensity-Based Framework This paper presents a general intensity-based framework to value executive stock options (ESOs). It builds upon the recent advances in the credit risk modeling arena. The early exercise or forfeiture due to voluntary or involuntary employment termination and the early exercise due to the executives desire for liquidity or diversification are modeled as an exogenous point process with random intensity dependent on the stock price. Two analytically tractable specifications are given where the ESO value, expected time of exercise or forfeiture, and the expected stock price at the time of exercise or forfeiture are calculated in closed-form. JEL classification: G13, G39, M41. Om du har problem med att hämta en fil, kontrollera om du har rätt program för att visa den först. Vid ytterligare problem läs IDEAS hjälp sida. Note that these files are not on the IDEAS site. Var tålmodig eftersom filerna kan vara stora. As the access to this document is restricted, you may want to look for a different version under Related research (further below) or search for a different version of it. Article provided by European Finance Association in its journal Review of Finance . Volume (Year): 4 (2000) Issue (Month): 3 () Pages: 211-230 Find related papers by JEL classification: G13 - Financial Economics - - General Financial Markets - - - Contingent Pricing Futures Pricing G39 - Financial Economics - - Corporate Finance and Governance - - - Other M41 - Business Administration and Business Economics Marketing Accounting Personnel Economics - - Accounting - - - Accounting No references listed on IDEAS You can help add them by filling out this form. Citations are extracted by the CitEc Project. subscribe to its RSS feed for this item. This item is not listed on Wikipedia, on a reading list or among the top items on IDEAS. When requesting a correction, please mention this items handle: RePEc:oup:revfin:v:4:y:2000:i:3:p:211-230. Se allmän information om hur du korrigerar material i RePEc. For technical questions regarding this item, or to correct its authors, title, abstract, bibliographic or download information, contact: (Oxford University Press) or (Christopher F. Baum) If you have authored this item and are not yet registered with RePEc, we encourage you to do it here. Detta låter dig länka din profil till det här objektet. Det tillåter dig också att acceptera potentiella citat till det här objektet som vi är osäkra på. Om referenser saknas helt kan du lägga till dem med det här formuläret. Om de fullständiga referenserna listar ett objekt som är närvarande i RePEc, men systemet inte länkade till det, kan du hjälpa till med det här formuläret. Om du känner till saknade objekt som citerar den här kan du hjälpa oss att skapa dessa länkar genom att lägga till relevanta referenser på samma sätt som ovan för varje refererande artikel. Om du är en registrerad författare till det här objektet kan du också kolla citatfliken i din profil, eftersom det kan finnas några citat som väntar på bekräftelse. Observera att korrigeringar kan ta några veckor för att filtrera genom de olika RePEc-tjänsterna. More services Follow series, journals, authors amp more New papers by email Subscribe to new additions to RePEc Author registration Public profiles for Economics researchers Various rankings of research in Economics amp related fields Who was a student of whom, using RePEc RePEc Biblio Curated articles amp papers on various economics topics Upload your paper to be listed on RePEc and IDEAS EconAcademics Blog aggregator for economics research Plagiarism Cases of plagiarism in Economics Job Market Papers RePEc working paper series dedicated to the job market Fantasy League Pretend you are at the helm of an economics department Services from the StL Fed Data, research, apps amp more from the St. Louis FedThe Valuation of Executive Stock Options in an Intensity-Based Framework This paper presents a general intensity-based framework to value executive stock options (ESOs). It builds upon the recent advances in the credit risk modeling arena. The early exercise or forfeiture due to voluntary or involuntary employment termination and the early exercise due to the executives desire for liquidity or diversification are modeled as an exogenous point process with random intensity dependent on the stock price. Two analytically tractable specifications are given where the ESO value, expected time of exercise or forfeiture, and the expected stock price at the time of. This paper presents a general intensity-based framework to value executive stock options (ESOs). It builds upon the recent advances in the credit risk modeling arena. The early exercise or forfeiture due to voluntary or involuntary employment termination and the early exercise due to the executives desire for liquidity or diversification are modeled as an exogenous point process with random intensity dependent on the stock price. Two analytically tractable specifications are given where the ESO value, expected time of exercise or forfeiture, and the expected stock price at the time of exercise or forfeiture are calculated in closed-form. JEL classification: G13, G39, M41. Keywords: Brownian area early exercise executive stock options Feynman-Kac formula forfeiture Laplace transform occupation time point processes with random intensity Journal Article. 0 words. Subjects: Financial Law Financial Institutions and Services Financial Markets Full text: subscription required
Comments
Post a Comment